Nina Tomaszewska
Ośrodek Edukacji Informatycznej i Zastosowań Komputerów
VI LO im. T.Reytana w Warszawie
nina@oeiizk.waw.pl

Część 3

2. Wprowadzenie wektora jako układu 2 liczb (składowych wektora)

Uczniowie już w szkole podstawowej spotkali się z pojęciem wektora. Wiedzą, że istnieją takie wielkości fizyczne jak np. prędkość i siła, do opisu których nie wystarcza podanie ich wartości (liczby); trzeba określić jeszcze kierunek¹ - działania siły lub ruchu. Młodzi ludzie oswoili się już z myślą, że wielkość wektorową (wektor) przedstawia się graficznie w postaci strzałki, której długość określa wartość, a położenie i grot wyznacza kierunek.
Istnieje jednak potrzeba wprowadzenia na pewnym poziomie nauczania innej niż geometryczna interpretacji wektora tj. przedstawienie wektora na płaszczyźnie jako układu dwóch liczb - składowych wektora. Pojęcie składowych wektora jest bardzo trudne i tak naprawdę trochę czasu upłynie zanim uczniowie w pełni je zrozumieją i docenią.
Mój pomysł na wprowadzenie składowych opierał się na wykorzystaniu arkusza kalkulacyjnego i poznanej wcześniej zasady niezależności ruchów. Przypomnę , że młodzież najpierw analizowała w programie "Vidshell" ruch wyrzuconej poziomo piłeczki badając x(t) i y(t), a następnie w arkuszu składała ruch jednostajny w kierunku osi X z jednostajnie przyspieszonym w Y otrzymując fragment paraboli jako tor ruchu.
Na następnej lekcji powróciliśmy z uczniami do poznanej metody otrzymywania toru składając po prostu wzdłuż X i Y ruchy jednostajne. Rys. 1 przedstawia przykładowy arkusz wraz z wykresem y(x) czyli torem ruchu.

Rys.1

Naturalne zupełnie dla uczniów było to, że v_x oznacza "prędkość na osi X" (tak ją nazywaliśmy analizując pomiary ruchu przeprowadzane za pomocą UMO (R) cz. I niniejszego artykułu) i może być ujemna, w odróżnieniu od wartości prędkości, która - jako długość wektora - musi być zawsze dodatnia. Analogicznie jest ze składową v_y. Symulacje przeprowadzane na modelu pokazały jak tor ruchu zależy od v_x i v_y i były całkowicie zgodne z przewidywaniami młodzieży. Rys. 2. i 3. pokazują pewne efekty tych symulacji.

Rys. 2	vx = 3 m/s vy = 0 m/s	Rys. 3	vx = -2 m/s vy = 8 m/s

Następnie postawiłam uczniom pytanie: "Jak obliczyć drogę przebytą przez ciało po czasie t od początku ruchu?". Okazało się, że nie było to dla nich trudne. Zaproponowali następujące rozwiązanie:

Oznaczenia odnoszą się do rys.4

Rys.4

Dla uczniów było dość oczywiste, że prędkość z jaką porusza się ciało jest wobec tego równa, i że jest to prędkość ruchu nie wzdłuż jakiejś osi, ale wzdłuż kierunku ruchu - wyrysowanej w arkuszu prostej. Z taką prędkością ciało porusza się naprawdę! Tak więc wektor prędkości, który pokazuje kierunek ruchu (jest styczny do toru) ma wartość, którą można wyrazić za pomocą 2 liczb: v_x i v_y. Również i kierunek można wyrazić za pomocą tych liczb, bo , gdzie jest kątem nachylenia toru ruchu do osi X.
Tu możemy potknąć się o pewną niedogodność, bowiem dopiero pod koniec 1. klasy młodzież poznaje na lekcjach matematyki funkcje trygonometryczne dla kątów tak więc należy ograniczyć się na razie do tzw. I ćwiartki i stwierdzić, że wzór ma charakter uniwersalny i jest prawdziwy dla każdego kąta.
Ale oto wyłonił się nowy problem dydaktyczny: Jak wyjaśnić, że to wszystko co odnosi się do ruchu prostoliniowego dotyczy również ruchu krzywoliniowego? Jak pokazać, że idea składowych wektora prędkości ma charakter ogólny?
To, że wektor prędkości musi być do toru styczny jest dla uczniów intuicyjnie zrozumiałe. Natomiast należało pokazać, że składowe dają właśnie taki wektor. I znowu posłużyłam się przykładem rzutu poziomego. Narysowałam na tablicy tor ruchu w układzie współrzędnych i zaznaczyłam położony poziomo wektor prędkości na początku. Poprosiłam o wyjaśnienie jak ze zmian składowych prędkości wynika zmiana kierunku wektora prędkości. Skąd bierze się to, że wektor prędkości ustawia się coraz bardziej "stromo"? Wszystko staje się jasne, jeśli uświadomimy sobie, że v_x nie zmienia się, a v_y rośnie. Zmienia się wtedy nie tylko długość wektora prędkości ale i jego kierunek, co widać na poniższym rysunku (rys.5).

Rys. 5

Jeśli teraz zajrzymy do arkusza kalkulacyjnego z opracowanym uprzednio przez uczniów modelem toru dla rzutu ukośnego, to będziemy mogli nawet zobaczyć styczność wektorów prędkości do toru. Przedtem jednak musimy dodać kolumnę obliczeń dla v_x i dla v_y według poniżej podanych wzorów:

v_x = v0 v_y = 9,81*t

W celu uwidocznienia wektorów prędkości jako stycznych do toru w pewnych dowolnie wybranych punktach, wprowadzam jeszcze dwie kolumny pomocniczych obliczeń dotyczących współrzędnych grotu strzałki wektora, bowiem wektor będzie miał początek w pewnym punkcie na krzywej (torze) o współrzędnych x_p, y_p, a koniec wektora wyznaczę obliczając współrzędne x_p+ v0 i y_p + 9,81*t_p. Wtedy mogę wprowadzić do wykresu nowe serie danych w postaci wyliczonych dwóch punktów. Jeśli wybiorę dla nich wykres punktowy z linią łączącą punkty, to otrzymam linie styczne o długości odpowiadającej wartości prędkości (Rys. 6). Będą one imitowały wektory prędkości.

Rys. 6

UWAGI:

1. Wyrażenie x_p+ v0 (oraz y_p + 9,81*t_p) nie ma żadnego sensu fizycznego; x_p oraz v0 należy traktować jako liczby, nie wielkości fizyczne. Pozwalają one w układzie XY obliczyć współrzędne końca wektora prędkości. Natomiast sens fizyczny mają składowe wektora, które - przypomnijmy z matematyki - obliczamy odejmując od współrzędnych końca współrzędne początku wektora.
2. Aby wprowadzić wspomniane 4 komórki jako nową serię do wykresu proponuję przekopiować wartości wybranych komórek w dowolne miejsce w arkuszu, ale w następującym układzie:

Należy następnie zaznaczyć te cztery komórki i przeciągnąć do wykresu. W pojawiającym się okienku dialogowym należy wybrać "serie" i zaznaczyć "wartości x w pierwszej kolumnie", gdyż wykres jest wykresem punktowym.

W niniejszej publikacji chciałam pokazać przydatność arkusza kalkulacyjnego w kształtowaniu nowego dla uczniów pojęcia - składowej wektora. Mam nadzieję, że choć trochę zachęciłam Czytelników do prezentowanego podejścia metodycznego. Myślę, że będzie to procentowało w przyszłości nie tylko zrozumieniem pojęcia składowej przez uczniów, ale również nabytymi umiejętnościami związanymi z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego.

¹Słowem kierunek oznaczam - inaczej niż jest to przyjęte w polskiej tradycji, ale powszechne na świecie (np. D.Halliday, R.Resnick Fizyka I t., PWN) i w mowie potocznej - prostą na której leży wektor wraz ze zwrotem.