Nina Tomaszewska OEIiZK
VI LO im. T.Reytana w Warszawie
nina@oeiizk.waw.pl

Kinematyka inaczej

Część 4

4. Zastosowania zdobytej wiedzy i umiejętności

W tej, ostatniej już, części mojego artykułu podzielę się z Czytelnikami refleksją na temat dalszego zastosowania metody składania ruchów z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego. Poza tym spojrzymy jeszcze raz na program "Vidshell", aby przekonać się jak z jego pomocą i z pomocą arkusza możemy zbadać względność ruchu.

Okazuje się, że wyżej wspomnianą metodę składania ruchów można łatwo zastosować do modelowania toru ruchu punktu poruszającego się po okręgu. A następnie - toru ruchu punktu okręgu, który się toczy.

Przedtem należy zrealizować temat: "Ruch po okręgu" w tradycyjny sposób, definiu-jąc m. in. prędkość kątową. Korzystamy następnie z elementarnej matematyki ( Rys 1.) i otrzymujemy:

Ale kąt zmienia się w czasie. Z definicji prędkości kątowej: Tak więc:
	Rys.1

Teraz jedynie należy powyższe funkcje wprowadzić do Excela ( Rys 2.) i aby otrzymać tor ruchu narysować wykres y(x). Dla uczniów nie będzie zaskoczeniem, że otrzymają okrąg. Jest to jedynie potwierdzenie poprawności naszego rozumowania i zasady niezależności ruchu.

Rys.2

Możemy teraz jednak pójść dalej i wprawić nasz okrąg w ruch. Niech zacznie się on toczyć w prawą stronę, zgodnie z osią X z prędkością (A będzie pewnym parametrem, którego sens wyjaśni się za chwilę). Po czasie t okrąg przesunie się o odległość d ( Rys 3.). Tak więc współrzędne punktu poruszające się po okręgu, który jednocześnie przemieścił się o d znajdziemy z wzorów:

	Rys. 3

Wprowadzimy wzory do następnych dwóch kolumn poprzedniego arkusza i wykreujemy wykres y'(x') dla A=1. Otrzymamy wynik pokazany na Rys. 4.

  Rys. 4.

Toczenie się koła jest złożeniem ruchu po okręgu względem jego środka oraz ruchu postępowego wszystkich punktów koła. Przy ruchu bez poślizgu prędkość ruchu postępowego (prędkość środka) jest równa prędkości punktu na brzegu koła względem środka i wynosi (czyli A=1).
A1 1 odpowiada poślizgowi koła. Możemy przeprowadzić symulację na otrzymanym modelu i zbadać tor ruchu punktu na okręgu ze względu na wartość parametru A.
Przy czyli ruch obrotowy przeważa nad postępowym. Mamy poślizg typu buksowanie kół. Tor ruchu dla A=0,6 przedstawiony jest na Rys. 5. Gdy krzywa zacieśnia się do okręgu.

Rys. 5

Przy czyli, odwrotnie jak poprzednio, ruch postępowy przeważa nad obrotowym. Dla A=10 tor wygląda jak na Rys. 6.

Rys. 6

Gdy A>>1 cylkoida przechodzi w cosinusoidę, co staje się zrozumiałe, jeśli spojrzymy na funkcje x'(t) i y'(t). Dla v >> r wyrażenie można pominąć (zwłaszcza dla dużych czasów) w porównaniu z wyrażeniem vt . W związku z czym x'=vt , co oznacza, że:

, a więc funkcja y'(x') jest cosinusoidą.

*

Przejdźmy teraz do zastosowania omawianego już uprzednio programu "Vidshell" oraz arkusza kalkulacyjnego do badania względności ruchu, a dokładniej znajdowania toru ruchu w laboratoryjnym układzie odniesienia i w układzie związanym z ciałem poruszającym się względem laboratorium.

Przykład będzie dotyczył rzuconego, wirującego młotka. Na Rys. 7., który jest zrzutem ekranu programu "Vidshell" widoczne są tory dwóch punktów młotka: środka masy i punktu na końcu trzonka.

  Rys. 7

Jak widać, środek masy porusza się jak rzucony kamień - po paraboli, natomiast drugi punkt zakreśla skomplikowaną pętlę. W celu znalezienia toru ruchu tego punktu względem środka masy zapisujemy wyniki pomiarów (tabelę) i przenosimy je do Excela, który ma dużo większe możliwości przeliczeniowe. Możemy tutaj odtworzyć tory ruchu obu punktów ustawiając wykresy y(x), ale chodzi nam o coś więcej... Spójrzmy na Rys. 8. Przedstawia on jak można obliczyć współrzędne punktu na końcu trzonka w nowym układzie odniesienia - związanym ze środkiem masy młotka.

 
Rys. 8

Widać że:

co bardzo łatwo można zrealizować w arkuszu kalkulacyjnym, a następnie wykreować wykres y'(x') w celu zobaczenia toru ruchu punktu. Rys. 9 będący zrzutem ekranu z Excela przedstawia jak to zostało zrobione i jaki był efekt końcowy.

Rys. 9

Można sprawdzić, że tak porusza się dowolny punkt (poza oczywiście środkiem masy) młotka. Co więcej można zauważyć, że ruch odbywa się ze stałą i jednakową dla wszystkich punktów prędkością kątową.